Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.
Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.
Теорема
2.
,
осью
и отрезками прямых
и
вращается вокруг оси
.
Тогда объём получающегося тела вращения
можно вычислить по формуле
(2)
Доказательство.
Для такого тела сечение с абсциссой
– это круг радиуса
,
значит
и формула (1) даёт требуемый результат.
Если фигура
ограничена графиками двух непрерывных
функций
и
,
и отрезками прямых
и
,
причём
и
,
то при вращении вокруг оси абсцисс
получим тело, объём которого
Пример
3.
Вычислить
объём тора, полученного вращением круга,
ограниченного окружностью 
вокруг оси абсцисс.
Р
ешение.
Указанный круг снизу ограничен графиком
функции
,
а сверху –
.
Разность квадратов этих функций:
Искомый объём
(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).
Пример 4.
Параболический сегмент с основанием
,
и высотой
,
вращается вокруг основания. Вычислить
объём получающегося тела («лимон»
Кавальери).
Р
ешение.
Параболу расположим как показано на
рисунке. Тогда её уравнение
,
причем
.
Найдём значение параметра
:
.
Итак, искомый объём:
Теорема
3.
Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осью
и отрезками прямых
и
,
причём
,
вращается вокруг оси
.
Тогда объём получающегося тела вращения
может быть найден по формуле
(3)
Идея
доказательства.
Разбиваем отрезок
точками
,
на части и проводим прямые
.
Вся трапеция разложится на полоски,
которые можно считать приближенно
прямоугольниками с основанием
и высотой
.
Получающийся при
вращении такого прямоугольника цилиндр
разрежем по образующей и развернём.
Получим «почти» параллелепипед с
размерами:
,
и
.
Его объём
.
Итак, для объёма тела вращения будем
иметь приближенноё равенство
Для получения
точного равенства надо перейти к пределу
при 
.
Написанная выше сумма есть интегральная
сумма для функции 
,
следовательно, в пределе получим интеграл
из формулы (3). Теорема доказана.
Замечание
1.
В теоремах
2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще
нечувствительна к знаку
,
а в формуле (3) достаточно
заменить на
.
Пример
5.
Параболический сегмент (основание
,
высота
)
вращается вокруг высоты. Найти объём
получающегося тела.
Решение.
Расположим
параболу как показано на рисунке. И хотя
ось вращения пересекает фигуру, она –
ось – является осью симметрии. Поэтому
надо рассматривать лишь правую половину
сегмента. Уравнение параболы
,
причем
,
значит
.
Имеем для объёма:
Замечание
2.
Если
криволинейная граница криволинейной
трапеции задана параметрическими
уравнениями
,
,
и
,
то можно использовать формулы (2) и (3) с
заменой
на
и
на
при измененииt
от
до
.
Пример
6.
Фигура
ограничена первой аркой циклоиды
,
,
,
и осью абсцисс. Найти объём тела,
полученного вращением этой фигуры
вокруг: 1) оси
;
2) оси
.
Решение.
1) Общая формула
В нашем случае:
2) Общая формула
Для нашей фигуры:
Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.
Замечание
3.
Пусть
криволинейный сектор, ограниченный
непре-рывной линией
и лучами
,
,
вращается вокруг полярной оси. Объём
получающегося тела можно вычислить по
формуле.
Пример
7.
Часть
фигуры, ограниченной кардиоидой
,
лежащая вне окружности
,
вращается вокруг полярной оси. Найти
объём тела, которое при этом получается.
Решение.
Обе линии, а значит и фигура, которую
они ограничивают, симметричны относительно
полярной оси. Поэтому необходимо
рассматривать лишь ту часть, для которой
.
Кривые пересекаются при
и
при
.
Далее, фигуру можно рассматривать как
разность двух секторов, а значит и объём
вычислять как разность двух интегралов.
Имеем:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Круговой сегмент,
основание которого 
,
высота
,
вращается вокруг основания. Найти объём
тела вращения.
2. Найти объём
параболоида вращения, основание которого
,
а высота равна
.
3. Фигура, ограниченная
астроидой
,
вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела, которое получается при этом.
4. Фигура, ограниченная
линиями
и
вращается вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела вращения.
Объем тела вращения можно вычислить по формуле :
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболысверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.
В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:, таким образоминтеграл всегда неотрицателен , что весьма логично.
Вычислим
объем тела вращения, используя данную
формулу:
Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.
Ответ
: 
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубическиеединицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.
Пример 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.
Пример 3
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями ,,и
Решение : Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями ,,,, не забывая при этом, что уравнениезадает ось:
Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через.
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через.
И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
3) Объем искомого тела вращения:
Ответ :
Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.
Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:
Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.
У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (другой) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.
Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, изданная ещё в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.
После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:
Пример 4
Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями,, где.
Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока огеометрических преобразованиях графиков : если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по осив два раза. Желательно найти хотя бы 3-4 точкипо тригонометрическим таблицам , чтобы точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.
С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур , но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.
Примеры таких тел - на рисунке ниже.
В задачах у нас есть криволинейные трапеции, которые вращаются вокруг оси Ox или вокруг оси Oy . Для вычисления объёма тела, образованного вращением криволинейной трапеции, нам понадобятся:
- число "пи" (3,14...);
- определённый интеграл от квадрата "игрека" - функции, задающей вращающуюся кривую (это если кривая вращается вокруг оси Ox );
- определённый интеграл от квадрата "икса", выраженного из "игрека" (это если кривая вращается вокруг оси Oy );
- пределы интегрирования - a и b .
Итак, тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , имеет объём
Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат (Oy ) криволинейной трапеции выражается формулой
При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции - те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.
Пример 1. Ox ) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .
Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1 , b = 4 :
Пример 2. Найти объём шара радиуса R .
Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат -R и R . Следовательно,
Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox ) фигуры, заключённой между параболами и .
Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE . Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны и - абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:
Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox .
Уравнение окружности LBCD имеет вид
причём уравнение кривой BCD
а уравнение кривой BLD
Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение
Объем тела вращения можно вычислить по формуле :
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболысверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.
В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат:, таким образоминтеграл всегда неотрицателен , что весьма логично.
Вычислим
объем тела вращения, используя данную
формулу:
Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.
Ответ
: 
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубическиеединицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.
Пример 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями,,
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.
Пример 3
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями ,,и
Решение : Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями ,,,, не забывая при этом, что уравнениезадает ось:
Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через.
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через.
И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
3) Объем искомого тела вращения:
Ответ :
Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.
Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:
Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.
У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (другой) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.
Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, изданная ещё в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.
После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:
Пример 4
Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями,, где.
Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока огеометрических преобразованиях графиков : если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по осив два раза. Желательно найти хотя бы 3-4 точкипо тригонометрическим таблицам , чтобы точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.
Использование интегралов для нахождения объемов тел вращения
Практическая полезность математики обусловлена тем, что без
конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной техникой, находить в справочниках применять нужные формулы, составлять несложные алгоритмы для решения задач. В современном обществе все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики. Таким образом, для школьника математика становится профессиональным значимым предметом. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитывает умение действовать по заданному алгоритму и конструировать новые алгоритмы.
Изучая тему о применении интеграла для вычисления объемов тел вращения, я предлагаю учащимся на факультативных занятиях рассмотреть тему: «Объемы тел вращения с применением интегралов». Ниже привожу методические рекомендации по рассмотрению данной темы:
1.Площадь плоской фигуры.
Из курса алгебры мы знаем, что к понятию определенного интеграла привели задачи практического характера. Один из них, это вычисления площади плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией y=f(x) (где f(x)DIV_ADBLOCK243">
Вычислим площадь криволинейной трапеции по формуле , если основание трапеции лежит на оси абсцисс или по формуле https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width="526" height="262 src=">
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.
Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оx, ограниченной прерывной линией y=f(x), осью Оx, прямыми x=a и x=b вычислим по формуле
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3.Объем цилиндра.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конус получается путем вращения прямоугольного треугольника АВС(С=90) вокруг оси Оx на котором лежит катет АС.
Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c, где https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.
Пусть а=0, b=H (Н- высота конуса), тогда Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=">.
5.Объем усеченного конуса.
Усеченный конус можно получить путем вращения прямоугольной трапецией АВСD (СDOx) вокруг оси Оx.
Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c, где 
, c=r.
Так как прямая проходит через точку А (0;r).
Таким образом прямая имеет вид https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Пусть а=0, b=H (Н- высота усеченного конуса), тогда https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src=">= 
.
6. Объем шара.
Шар можно получить путем вращения круга с центром (0;0) вокруг оси Оx. Полуокружность, расположенная над осью Оx, задается уравнением
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
Загрузка...
