Algoritm interval usuli oddiy va tushunarli:
1) toping funktsiya sohasi.
2) toping funktsiya nollari(grafaning x o'qi bilan kesishish nuqtalari).
3) Ko'pgina vazifalar chizmani talab qiladi. Biz o'qni chizamiz va undagi to'xtash nuqtalarini (agar mavjud bo'lsa), shuningdek, funktsiyaning nollarini (agar mavjud bo'lsa) chizamiz. Ta'rif sohasiga kiruvchi oraliqlarda funksiyaning belgilarini aniqlaymiz.
Siz nuqtalarni yozib olishingiz mumkin, ammo algoritm hatto to'liq choynakni ham tezda eslab qoladi. Bu erda hamma narsa shaffof va mantiqiy.
Umumiy kvadrat funktsiyadan boshlaylik:
1-misol
Funksiyaning doimiy belgisi oraliqlarini toping. 
Yechim:
1) Funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan va uzluksizdir. Shunday qilib, tanaffus nuqtalari va "yomon" bo'shliqlar yo'q.
2) funksiyaning nollarini topamiz. Buning uchun tenglamani yechish kerak. Ushbu holatda: 
Diskriminant musbat, ya'ni tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega: 
3) Biz barcha topilgan nuqtalarni raqamlar o'qida chizamiz:
Maqolada Funktsiya domeni Men shunga o'xshash chizmalarni sxematik tarzda tuzdim, ammo endi taqdimotning aniqligi uchun men ularni masshtablashtiraman (klinik holatlar bundan mustasno). Xuddi shu darsda biz oraliqlar bo'yicha funktsiyaning belgilarini qanday aniqlashni o'rgandik - biz parabolaning joylashishini tahlil qilishimiz mumkin. Bunday holda, parabola shoxlari yuqoriga, shuning uchun intervalgacha yo'naltiriladi 
funktsiya ijobiy bo'ladi: . Parabolaning pastki qismi x o'qi ostidagi intervalda o'tiradi va bu erda funktsiya manfiy: .
Ko'p o'quvchilar parabolani tasavvur qilishadi. Ammo funktsiya murakkabroq bo'lsa-chi? Masalan, . Tomoshabinlarning katta qismi allaqachon ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini aytish qiyin. Va bu, ta'bir joiz bo'lsa, faqat minimal asoratdir.
Biroq, universal usul oddiy va murakkab holatlarda ham ishlaydi:
Ma’lum oraliqda uzluksiz, grafigi bu oraliqdagi o‘qni kesib o‘tmaydigan funksiyani ko‘rib chiqaylik. Keyin:
Agar funktsiya ijobiy intervalning istalgan nuqtasida, keyin u ijobiy va HAMMADA bu intervalning nuqtalari;
Agar funktsiya salbiy intervalning istalgan nuqtasida, keyin u salbiy va HAMMADA bu intervalning nuqtalari.
Bir oz tasavvur qiling: agar intervalda uzilish nuqtalari bo'lmasa va grafik x o'qini kesib o'tmasa, u sehrli tayoqchaning to'lqini bilan pastki yarim tekislikdan yuqori yarmiga sakrab o'tolmaydi. samolyot (yoki aksincha). Shuning uchun funksiyaning bunday oraliqdagi ishorasini bir nuqtadan osongina aniqlash mumkin.
Keling, bir oz tajriba qilaylik. Tasavvur qiling-a, siz funktsiya grafigi qanday ko'rinishini bilmaysiz va siz uning belgi doimiylik intervallarini topishingiz kerak (Aytgancha, agar siz haqiqatan ham bilmasangiz, sabr-toqatli primadonnani chizing =)).
1) Intervalning ixtiyoriy nuqtasini oling. Hisoblash nuqtai nazaridan, uni olish eng oson. Biz uni funktsiyamizga almashtiramiz:
Shuning uchun funktsiya musbat va har birida oraliq nuqtasi.
2) Biz intervalning ixtiyoriy nuqtasini olamiz, bu erda qulaylik uchun nol raqobatdan tashqarida.
Biz almashtirishni yana bajaramiz:
Bu funktsiyaning manfiy ekanligini bildiradi va har birida oraliq nuqtasi.
3) Va nihoyat, biz intervalning eng oddiy nuqtasini qayta ishlaymiz:
Shuning uchun funktsiya ijobiydir har birida oraliq nuqtasi.
Tugallangan almashtirish va hisob-kitoblarni og'zaki qilish deyarli har doim oson, ammo oxirgi chora sifatida qoralama mavjud.
Olingan natijalarni raqamli o'qga yozamiz:
Ha, siz parabola haqida hech qanday tasavvurga ega emassiz, lekin buni intervallarda aniq aytishingiz mumkin 
funksiya grafigi o'qdan YUQORIDA, oraliqda esa - bu o'qdan pastda joylashgan.
Javob:
Agar ;
, Agar .
Bir qator "sun'iy yo'ldosh" muammolari xuddi shu tarzda hal qilinadi, ulardan ba'zilari:
.
Biz shunga o'xshash harakatlarni bajaramiz va javob beramiz 
.
Kvadrat tengsizlikni yeching .
Biz shunga o'xshash harakatlarni bajaramiz va javob beramiz.
Topingdomen
funktsiyalari 
.
Biz shunga o'xshash harakatlarni bajaramiz va javob beramiz.
Intervalli usul eng ibtidoiy holatlarda, masalan, funksiya uchun ishlaydi. Bu erda to'g'ri chiziq x o'qini nuqtada, shu nuqtaning chap tomonida (o'qning ostidagi grafik) va o'ngda (o'qning ustidagi grafik) kesishadi. Biroq, tankdagilar uchun muammoni intervalli usul yordamida hal qilish mumkin.
Funktsiya butun son chizig'ida musbat yoki manfiy bo'lishi mumkinmi? Albatta, maqolada Funktsiya domeni Biz odatiy misollarni ko'rib chiqdik. Xususan, ular buni aniqladilar 
(to'liq yuqori yarim tekislikda yotgan parabola). Interval usuli bu erda ham ishlaydi! Biz bitta intervalni ko'rib chiqamiz, undan eng qulay nuqtani olamiz va almashtirishni bajaramiz: 
. Bu funktsiya intervalning har bir nuqtasida ijobiy ekanligini anglatadi.
Funktsiya nollari funktsiya nolga teng bo'lgan argument qiymatlari.
y=f(x) formula bilan berilgan funksiyaning nollarini topish uchun f(x)=0 tenglamani yechish kerak.
Agar tenglamaning ildizlari bo'lmasa, funktsiya nolga ega emas.
Misollar.
1) y=3x+15 chiziqli funksiyaning nollarini toping.
Funksiyaning nollarini topish uchun 3x+15=0 tenglamani yeching.
Demak, y=3x+15 funksiyaning noli x= -5 ga teng.
Javob: x= -5.
2) f(x)=x²-7x+12 kvadrat funktsiyaning nollarini toping.
Funktsiyaning nollarini topish uchun kvadrat tenglamani yeching
Uning ildizlari x1=3 va x2=4 bu funksiyaning nolga teng.
Javob: x=3; x=4.
Ko'rsatmalar
1. Funktsiyaning noli - bu x argumentining qiymati, bunda funktsiya qiymati nolga teng. Biroq, faqat o'rganilayotgan funktsiyaning ta'rifi doirasidagi argumentlar nolga teng bo'lishi mumkin. Ya'ni, f(x) funktsiyasi foydali bo'lgan juda ko'p qiymatlar mavjud. 2. Berilgan funksiyani yozing va uni nolga tenglashtiring, aytaylik f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Olingan tenglamani yeching va uning haqiqiy ildizlarini toping. Kvadrat tenglamaning ildizlari diskriminantni topish uchun yordam bilan hisoblanadi. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 Shunday qilib, bu holda kvadrat tenglamaning ikkita ildizi olinadi f(x) boshlang‘ich funksiyasining argumentlari. 3. Berilgan funktsiyani aniqlash sohasiga tegishliligi uchun barcha aniqlangan x qiymatlarini tekshiring. OOFni toping, buning uchun boshlang‘ich ifodani?f (x) ko‘rinishdagi juft ildizlar mavjudligini, maxrajdagi argumentli funksiyada kasrlar mavjudligini, logarifmik yoki trigonometrik borligini tekshiring. ifodalar. 4. Juft darajali ildiz ostidagi ifodaga ega funktsiyani ko'rib chiqayotganda, ta'rif sohasi sifatida qiymatlari radikal ifodani manfiy raqamga aylantirmaydigan barcha x argumentlarini oling (aksincha, funktsiya shunday qiladi). mantiqiy emas). Funktsiyaning aniqlangan nollari qabul qilinadigan x qiymatlarining ma'lum bir diapazoniga to'g'ri kelishini tekshiring. 5. Kasrning maxraji nolga chiqa olmaydi, shuning uchun bunday natijaga olib keladigan x argumentlarini chiqarib tashlang; Logarifmik miqdorlar uchun faqat ifodaning o'zi noldan katta bo'lgan argumentning qiymatlari hisobga olinishi kerak. Sublogarifmik ifodani nolga yoki manfiy songa aylantiruvchi funksiyaning nollari yakuniy natijadan olib tashlanishi kerak. Eslatma! Tenglamaning ildizlarini topishda qo'shimcha ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Buni tekshirish oson: argumentning natijaviy qiymatini funktsiyaga almashtiring va funktsiya nolga aylanayotganiga ishonch hosil qiling. Foydali maslahat Ba'zan funktsiya o'z argumenti orqali aniq ko'rinishda ifodalanmaydi, keyin bu funktsiya nima ekanligini bilish oson. Bunga aylana tenglamasini misol qilib keltirish mumkin.
Funktsiya nollari Funktsiyaning qiymati nolga teng bo'lgan abscissa qiymati deyiladi.
Agar funktsiya uning tenglamasi bilan berilgan bo'lsa, u holda funktsiyaning nollari tenglamaning echimlari bo'ladi. Agar funktsiyaning grafigi berilgan bo'lsa, u holda funktsiyaning nollari grafik x o'qini kesib o'tadigan qiymatlardir.
2. Funksiyaning nollarini toping.
f(x) x da 
.
f(x) ga x da javob bering .
2) x 2 >-4x-5;
x 2 +4x +5>0;
f(x)=x 2 +4x +5 bo'lsin, f(x)>0 bo'lgan shunday x topilsin,
D=-4 Nol yo'q.
4. Tengsizliklar sistemalari. Ikki o'zgaruvchili tengsizliklar va tengsizliklar tizimi
1) Tengsizliklar sistemasining yechimlari to‘plami, unga kiritilgan tengsizliklar yechimlari to‘plamining kesishishidir.
2) f(x;y)>0 tengsizlikning yechimlari to‘plamini koordinata tekisligida grafik tasvirlash mumkin. Odatda f(x;y) = 0 tenglama bilan aniqlangan chiziq tekislikni 2 qismga ajratadi, ulardan biri tengsizlikning yechimidir. Qaysi qismni aniqlash uchun f(x;y)=0 to‘g‘rida yotmagan ixtiyoriy M(x0;y0) nuqtaning koordinatalarini tengsizlikka almashtirish kerak. Agar f(x0;y0) > 0 bo'lsa, u holda tengsizlikning yechimi M0 nuqtani o'z ichiga olgan tekislikning qismidir. agar f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.
3) Tengsizliklar sistemasining yechimlar to‘plami, unga kiritilgan tengsizliklar yechimlari to‘plamining kesishishidir. Masalan, tengsizliklar tizimi berilsin:
.
Birinchi tengsizlik uchun yechimlar to‘plami radiusi 2 bo‘lgan va markazida koordinatali aylana, ikkinchisi uchun esa 2x+3y=0 to‘g‘ri chiziq ustida joylashgan yarim tekislikdir. Ushbu tizimning yechimlari to'plami bu to'plamlarning kesishishi, ya'ni. yarim doira.
4) Misol. Tengsizliklar tizimini yeching:
1-tengsizlikning yechimi to'plam, 2-to'plam (2;7) va uchinchisi to'plamdir.
Bu to‘plamlarning kesishishi tengsizliklar sistemasi yechimlari to‘plami bo‘lgan (2;3] oraliqdir.
5. Ratsional tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish
Intervallar usuli binomialning (x-a) quyidagi xossasiga asoslanadi: x = a nuqta son o'qini ikki qismga ajratadi - a nuqtadan o'ng tomonda binomial (x-a)>0 va a nuqtaning chap tomoni (x-a)<0.
(x-a 1)(x-a 2)...(x-a n)>0 tengsizlikni yechish zarur boʻlsin, bunda a 1, a 2 ...a n-1, a n oʻzgarmasdir. Ular orasida tenglari bo'lmagan va a 1 bo'lgan raqamlar< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 ni interval usuli yordamida quyidagicha bajaramiz: a 1, a 2 ...a n-1, a n sonlar o‘qda chiziladi; ularning eng kattasining o'ng tomonidagi intervalda, ya'ni. a n raqamlari, ortiqcha belgisini qo'ying, undan keyingi oraliqda o'ngdan chapga minus belgisini, keyin ortiqcha belgisini, keyin minus belgisini va hokazolarni qo'ying. U holda (x-a 1)(x‑a 2)...(x-a n)>0 tengsizlikning barcha yechimlari toʻplami ortiqcha belgisi qoʻyilgan barcha oraliqlarning birlashmasi va toʻplam boʻladi. (x-a 1 )(x-a 2)...(x‑a n) tengsizlikning yechimlari.<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Ratsional tengsizliklarni (ya'ni shakldagi tengsizliklarni) yechish 
P(x) Q(x) bu yerda polinomlar) uzluksiz funksiyaning quyidagi xossasiga asoslanadi: agar uzluksiz funksiya x1 va x2 (x1; x2) nuqtalarda yo‘qolib ketsa va bu nuqtalar orasida boshqa ildizlar bo‘lmasa, u holda intervallar (x1; x2) funksiya o'z belgisini saqlab qoladi.
Demak, y=f(x) funksiyaning son chizig’idagi o’zgarmas ishorali intervallarni topish uchun f(x) funksiya yo’q bo’lib ketadigan yoki uzilishga uchragan barcha nuqtalarni belgilang. Bu nuqtalar son chizig'ini bir necha intervallarga ajratadi, ularning har birida f(x) funksiya uzluksiz bo'lib, yo'qolmaydi, ya'ni. belgisini saqlaydi. Bu belgini aniqlash uchun son qatorining ko'rib chiqilayotgan oralig'ining istalgan nuqtasida funksiyaning ishorasini topish kifoya.
2) Ratsional funktsiyaning doimiy belgisi intervallarini aniqlash uchun, ya'ni. Ratsional tengsizlikni yechish uchun son chizig‘ida payning ildizlarini va maxrajning ildizlarini belgilaymiz, ular ham ratsional funktsiyaning ildizlari va uzilish nuqtalari hisoblanadi.
Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish
3. 
< 20.
Yechim. Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:
f(x) = funktsiyasi uchun – 20. f(x) ni toping:
buning uchun x = 29 va x = 13.
f(30) = – 20 = 0,3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.
Javob: . Ratsional tenglamalarni yechishning asosiy usullari. 1) Eng oddiy: odatiy soddalashtirishlar bilan hal qilinadi - umumiy maxrajga qisqartirish, o'xshash atamalarni qisqartirish va hokazo. ax2 + bx + c = 0 kvadrat tenglamalar... yechiladi.
X oraliqda o'zgaradi (0,1] va intervalda kamayadi)
Yuklanmoqda...
